排列、組合、概率

排列、組合、概率都與集合密切相關(guān)。排列和組合都是求集合元素的個(gè)數(shù)，概率是求子集元素個(gè)數(shù)與全集元素個(gè)數(shù)的比值。

以最常見的全排列為例，用 S(A)表示集合 A 的元素個(gè)數(shù)。用 1、2、3、 4、5、6、7、8、9 組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)，則每一個(gè)九位數(shù)都是集合 A 的一個(gè)元素，集合 A 中共有 9!個(gè)元素，即 S(A)=9! 如果集合 A 可以分為若干個(gè)不相交的子集，則 A 的元素等于各子集元 素之和。

把 A 分成各子集，可以把復(fù)雜的問(wèn)題化為若干簡(jiǎn)單的問(wèn)題分別解決， 但我們要詳細(xì)分析各子集之間是否確無(wú)公共元素，否則會(huì)重復(fù)計(jì)算。

集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系：如果集合 A 與集合 B 存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則 S(A)=S(B)。

如果集 合 B 中每個(gè)元素對(duì)應(yīng)集合 A 中 N 個(gè)元素，則集合 A 的元素個(gè)數(shù)是 B 的 N 倍(嚴(yán)格的定義是把集合 A 分為若干個(gè)子集，各子集沒有共同元素，且每個(gè) 子集元素個(gè)數(shù)為 N，這時(shí)子集成為集合 A 的元素，而 B 的元素與 A 的子集 有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則 S(A)=S(B)*N

例如：從 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任取六個(gè)數(shù)，問(wèn)能組成多 少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)。 集合 A 為數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)的集合，S(A)=9! 集合 B 為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。

把集合 A 分為子集的集合，規(guī)則為前 6 位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個(gè)子集。 顯然各子集沒有共同元素。每個(gè)子集元素的個(gè)數(shù)，等于剩余的 3 個(gè)數(shù)的全排 列，即 3! 這時(shí)集合 B 的元素與 A 的子集存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!

組合與排列的區(qū)別在于：每一個(gè)組合中的各元素是沒有順序的。無(wú)論這 些元素怎樣排列，都只當(dāng)作一種組合方式。所以在計(jì)算組合數(shù)的時(shí)候，只要 分步，就意味有次序。取 N 次，N 件物品的 N!種排列方式都會(huì)被當(dāng)作不同 選法，該選法就重復(fù)計(jì)了 N!次。

比如 10 個(gè)球中任取三個(gè)球，取法應(yīng)該是 C(10，3)，但如果先從 10 個(gè)中取一個(gè)，得 C(10，1)，再?gòu)?9 個(gè)中取一個(gè) 得 C(9，1)，再?gòu)?8 個(gè)中取一個(gè)得 C(8，1)，再相乘結(jié)果成了 P(10，3)， 結(jié)果增大了 3!倍。

概率的概念：

在有限集合的情況下，概率是子集元素個(gè)數(shù)與全集元素個(gè) 數(shù)的比值；

在無(wú)限集合的情況下，概率是代表子集的點(diǎn)的面積與代表全集的 點(diǎn)的面積的比值。

概率分布函數(shù)可以描述概率分布的全貌。

離散型的概率分布是一組數(shù) 列，計(jì)算事件發(fā)生的概率、數(shù)學(xué)期望和方差都使用數(shù)列的計(jì)算方法。連續(xù)型的概率分布是一個(gè)函數(shù)，它等于概率密度函數(shù)的積分，計(jì)算事件發(fā)生的概率、 數(shù)學(xué)期望和方差都使用積分的計(jì)算方法。 概率的概念不難理解，解題能力決定于對(duì)數(shù)列和積分中的方法掌握的熟 練程度。 理解了基本概念，對(duì)基本數(shù)學(xué)方法就更容易掌握。