數(shù)學(xué)是什么？
　　大部分中國人心目中的數(shù)學(xué)，其實按嚴(yán)格的分類，都屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。一句話：應(yīng)用數(shù)學(xué)是用數(shù)字和公式描述客觀世界的科學(xué)，研究的是客觀世界的數(shù)量性質(zhì)和運動規(guī)律；而數(shù)學(xué)(為了區(qū)分，多稱作“純數(shù)學(xué)”或“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”)是含有公式的哲學(xué)，研究的是抽象概念的關(guān)系、運動規(guī)律和空間的性質(zhì)，具有很強的主觀性和藝術(shù)性。古人從獵物分配中總結(jié)了算術(shù)，從土地面積丈量中總結(jié)出基礎(chǔ)的平面幾何，可以說，先有應(yīng)用數(shù)學(xué)后有純數(shù)學(xué)。二者在300年前可以說不分彼此，牛頓、高斯、歐拉等大數(shù)學(xué)家同樣也在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)等領(lǐng)域取得累累碩果。后來，羅巴切夫斯基和黎曼等建立非歐幾何學(xué)，使得人類第一次脫離生活中直觀的三維空間，思考抽象空間的性質(zhì)，這個事件標(biāo)志著純數(shù)學(xué)開始自立門戶。而1900年希爾伯特在國際數(shù)學(xué)家大會上的講話，可以說是純數(shù)學(xué)從應(yīng)用數(shù)學(xué)中徹底獨立出來。二戰(zhàn)后經(jīng)濟復(fù)蘇，數(shù)學(xué)家有了資金支持可以無憂生計，全心全力做研究，數(shù)學(xué)得到長足發(fā)展。
　　為什么要學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)？
　　常言道，練武不練功，到老一場空。倚天劍屠龍刀是絕世神兵，但也要拿得動舞得起來才有威力。看過電影《導(dǎo)火線》的筒子，肯定對里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果沒有甄子丹的身體素質(zhì)和協(xié)調(diào)能力，硬用背摔這樣的技能非傷到自己不可。應(yīng)用數(shù)學(xué)的模型的發(fā)明研究者多數(shù)有很深的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)功底，故學(xué)習(xí)者若無一定的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，理解他們的成果就要花費很多的時間和精力，而且難以理解透徹和應(yīng)用到位，更不要提舉一反三了。而目前工業(yè)日新月異，金融界瞬息萬變，相關(guān)的模型和公式也是層出不窮。學(xué)習(xí)者如果不能觸類旁通，一個一個學(xué)是必然學(xué)不完的。一切高級的數(shù)學(xué)，歸根結(jié)底都是微積分和線性代數(shù)的各種變化，這是哈佛數(shù)學(xué)系主任丘成桐和普林斯頓數(shù)學(xué)系前系主任釋天(Elias Stein)經(jīng)常告誡學(xué)生的話。而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的初級學(xué)科，如數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，就是對最基本的高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)進(jìn)行理論上的完善，讓學(xué)習(xí)者不僅僅能學(xué)會現(xiàn)有的套路，更能理解公式定理背后的道理，從而能更好地應(yīng)對各種隨機的情況，甚至于自創(chuàng)招式。故將來計劃學(xué)習(xí)理工科和金融的學(xué)生，除了練好微積分和線性代數(shù)的計算，至少要學(xué)習(xí)一下這兩個領(lǐng)域的證明課程，也就是一年的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。這只是最低要求，物理學(xué)特別是理論方向的必修群論(屬于抽象代數(shù))，量子力學(xué)要學(xué)希爾伯特空間(屬于實變函數(shù))。另外，有些較為高端的金融數(shù)學(xué)項目中的隨機模型的課程，已經(jīng)要求初步掌握測度論。具體到理工科和金融的名家案例：生物學(xué)家施一公高中數(shù)學(xué)競賽河南省第一名，大學(xué)物理和生物雙學(xué)位中修了大量數(shù)學(xué)；哈佛大學(xué)雙聘教授莊小威本科在中科大讀核物理，群論和偏微分方程是必修，出國讀博時數(shù)學(xué)水準(zhǔn)不亞于數(shù)學(xué)系畢業(yè)生；文藝復(fù)興基金創(chuàng)始人、30年內(nèi)殺入福布斯前50名的富豪賽猛宅(James Simons)本身就是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)出身。近一點的例子：北大生命科學(xué)學(xué)院05級本科第一名、現(xiàn)斯坦福博士生高小井；06級本科第一名、現(xiàn)哈佛醫(yī)學(xué)院博士生李鑫，高中都有數(shù)學(xué)奧賽經(jīng)歷，在大學(xué)也一直加強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。MHC生物和化學(xué)雙學(xué)位取得者，目前杜克大學(xué)醫(yī)學(xué)院MD學(xué)生王曉雯，大學(xué)期間做完了著名的《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》。本科階段學(xué)好數(shù)學(xué)，是理工社科從業(yè)者一生的財富。
　　如何學(xué)好數(shù)學(xué)？
　　第一：要具備不卑不亢的心態(tài)。
　　數(shù)學(xué)并非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數(shù)中國學(xué)生比較陌生。要把它當(dāng)作全新的東西來認(rèn)識，就跟學(xué)習(xí)一門新語言一樣。以前自己學(xué)的東西，包括高中知識和AP數(shù)學(xué)等，記住概念即可，思維推導(dǎo)不要沿用。然后嚴(yán)格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導(dǎo)和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數(shù)學(xué)天才陶哲軒給UCLA本科生講Honor Analysis(榮譽數(shù)學(xué)分析)的時候，上來進(jìn)度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來可以越學(xué)越快，而且學(xué)生越學(xué)越Hi。拳不離手，曲不離口，學(xué)語言要勤動口和動筆，學(xué)數(shù)學(xué)也要沒事常動腦。就算文科生一樣可以學(xué)好數(shù)學(xué)：20世紀(jì)俄羅斯數(shù)學(xué)學(xué)派掌門人、莫斯科國立大學(xué)數(shù)學(xué)系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(Edward Witten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語言學(xué)，博士申請UWM的經(jīng)濟學(xué)博士，讀了半年退學(xué)，自修數(shù)學(xué)和物理，23歲考進(jìn)Princeton，碩轉(zhuǎn)博再同時搞數(shù)學(xué)和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領(lǐng)獎臺上。我說過了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)其實是哲學(xué)，而哲學(xué)算文科還是理科都有道理。所以，就算國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)得再爛，只是按照國內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)比較爛，在美國完全有可能前途無量，要有信心。另一方面，國內(nèi)就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實實的學(xué)。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數(shù)是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數(shù)幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數(shù)幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。這里特別要說一下美國數(shù)學(xué)教學(xué)的二段教學(xué)法：不同于俄羅斯和中國上來就是帶證明的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，美國的教學(xué)更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數(shù)，內(nèi)容比較簡單，作業(yè)和考試很多中國學(xué)生可以依靠高中基礎(chǔ)秒殺之。但不少人練習(xí)不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二段，數(shù)分和高代一開，很多人欲哭無淚。這就要求第一階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。然后第二段就要細(xì)讀書，多問老師。在美國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能學(xué)好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。
　　第二，保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間。
　　要是天才并且喜歡數(shù)學(xué)，那你自然會給數(shù)學(xué)大量時間。如果是為了將來勝任其他領(lǐng)域而學(xué)數(shù)學(xué)，要記住大一大二對于打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學(xué)科的作業(yè)，然后把大塊時間分配給數(shù)學(xué)的看書做題細(xì)琢磨。我目前主要是修各種數(shù)學(xué)課和一門應(yīng)用數(shù)學(xué)的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯后的休息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時(抄抄四書五經(jīng)，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學(xué)習(xí)。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上一直思考，也相當(dāng)于最終學(xué)習(xí)10小時。誰說數(shù)學(xué)天才每天悠哉游哉？那么最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-Pierre Serre)夠天才了吧？他自述道：習(xí)慣帶著數(shù)學(xué)題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的《紅樓夢》第一回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫(與“造化陰陽”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英國皇家學(xué)會會長，敕封爵士)并列20世紀(jì)世界第一的數(shù)學(xué)家)。數(shù)學(xué)多好算好？別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你(by“現(xiàn)代微分幾何之父”陳省身)。一本書讀完，同一領(lǐng)域下一階段的書要能自通30%。校內(nèi)傳的什么每天學(xué)習(xí)八小時那是給別的學(xué)科的。每天八小時想學(xué)好數(shù)學(xué)？做夢！
　　第三，學(xué)會科學(xué)的思維方法。
　　下面分條目詳解：
　　(1)數(shù)學(xué)思維的三個方面：任何數(shù)學(xué)的定義、定理說透了也就三部分：第一是它本身的文字和(或)符號、公式內(nèi)容；第二是它在數(shù)學(xué)知識體系中的位置，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，包括由什么可以推出來該定義或定理，它又可以(與其它定理一起)推出些什么；第三是它所涉及的范疇有什么具體實例(比如循環(huán)群就有旋轉(zhuǎn)圖形、整數(shù)加群和同余模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數(shù)學(xué)中或數(shù)學(xué)外(典型的如幾何和物理)取得應(yīng)用。這就分別是數(shù)學(xué)對象的本體論、方法論和目的論。柯莫高說：“的確學(xué)生對數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：1，算法能力，也就是對復(fù)雜式子作高明的變形，以解決標(biāo)準(zhǔn)方法解決不了的問題的能力。2，幾何直觀的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達(dá)出來，并進(jìn)行思考的能力。3，一步一步進(jìn)行邏輯推理的能力。”這些對應(yīng)的就是掌握數(shù)學(xué)概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯(lián)系生活實際；邏輯推理這個往往是中國學(xué)生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過西方拼音文字，而一維線形(邏輯鏈的內(nèi)在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別練習(xí)。練習(xí)邏輯推理的方法關(guān)鍵在定理的證明，下面會詳述。
  (2)心理狀態(tài)：很多人開始覺得數(shù)學(xué)難，然后生怕基礎(chǔ)打得不牢，一個定理看半天，看似很認(rèn)真很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進(jìn)度。這就像打羽毛球和練書法，你心里緊張，手抓得太緊，反而發(fā)不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時可以發(fā)力的彈簧狀，擊球時蹬地轉(zhuǎn)體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最后一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防御的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動，有點小期待，隨時能調(diào)動已有知識，并可以多角度觀察新知識，思維能發(fā)散也能迅速收回并集中攻關(guān)。這種感覺一旦找到，妙不可言。不過重難點也要適當(dāng)文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭一天理解了要標(biāo)記，第二天要試著不看書回憶。